Iteratie, dynamische processen & numerieke methode
Het leerplan Wiskunde A voor de derde graad bevat onderwerpen zoals iteratie, differentiaalvergelijkingen, discrete wiskunde (i.h.b. rijen), numerieke methoden en fractalen. Deze onderwerpen omvatten zeer mooie wiskundige begrippen en eigenschappen. Bovendien hebben ze heel wat raakvlakken met de realiteit.
De onderstaande teksten tonen hoe deze topics met mekaar in verband kunnen gebracht worden met als rode draad iteratie. Het is de bedoeling om leerlingen op een boeiende, leerzame, dynamische en interactieve manier aan wiskunde te laten doen en dit door gebruik te maken van technologie in combinatie met heel wat logisch redeneerwerk.
Deel 1 - Iteratie (pdf, 369 KB)
We starten met te tonen hoe iteratie leidt tot het dynamisch bestuderen van elementaire reële functies. We voeren begrippen in zoals vaste punten en periodische punten die ook in de andere delen zullen opduiken. Grafische analyses, d.m.v. webgrafieken, zijn een grote hulp om o.a. deze punten op te sporen en computeralgebra is een krachtig hulpmiddel voor het uitvoeren van het rekenwerk om te tonen dat deze grafische veronderstellingen correct zijn. Deze aanpak laat toe om op een dynamische manier om te gaan met begrippen zoals convergentie en afgeleiden. We eindigen dit deel met het bestuderen van een discreet dynamisch marktmodel.
Het construeren van webgrafieken doen we op volgende manieren:
- met de TI-83/84 Plus (pdf, 94 KB),
- met de Java Applet WebGrafiek van het Freudenthal Instituut,
met dank voor het beschikbaar stellen van deze applet.
Voor meer FI-applets bezoek WisWeb.
Deel 2 - Dynamische Processen (pdf, 1,8 MB)
"Dynamische systemen" is de tak van de wiskunde die veranderende processen bestudeert. In vele disciplines treft men processen aan die veranderen in de tijd: veranderende weersomstandigheden in de meteorologie, op- en neergaande beweging van de aandelenmarkt in de economie, evolutie van de omvang van populaties in de ecologie, beweging van hemellichamen in de astronomie, slingerbewegingen in de fysica, veranderingen van chemicaliën… Soms leiden beginsituaties tot voorspelbaar gedrag maar soms tot onvoorspelbaar chaotisch gedrag. We bestuderen in dit onderdeel:
- Recursievergelijkingen (pdf, 162 KB)
- Complexe iteratie (pdf, 758 KB): Julia-verzamelingen en de Mandelbrot-verzameling
- Geïtereerde Functiesystemen (pdf, 502 KB)
- Appendix A: Complexe getallen (pdf, 46 KB)
- Appendix B: Complexe getallen met Cabri Geometry (pdf, 429 KB) - Cabri-files
Deel 3 - Numerieke methoden (pdf, 167 KB)
Vertrekkende van discrete recursievergelijkingen introduceren we differentiaalvergelijkingen. Baserend op kennis van afgeleiden, lossen we enkele eenvoudige differentiaalvergelijkingen exact op. Voor moeilijkere differentiaalvergelijkingen gebruiken we een numerieke oplossingsmethode, de methode van Euler, gebaseerd op de numerieke afgeleide en iteratie. Als tweede deel bestuderen we enkele iteratieve benaderingsmethoden voor nulpunten van reële functies: de bisectiemethode, de regula falsi en de methode van Newton-Raphson. Deze methoden kunnen zinvol gebruikt worden als introductie tot het programmeren en algoritmiseren. Om af te sluiten tonen we dat het benaderen van nulpunten met de methode van Newton-Raphson niets anders is dan het zoeken naar vaste punten.
- Differentiaalvergelijkingen (pdf, 76 KB)
- Het benaderen van nulpunten (pdf, 113 KB)
- De bisectiemethode met Excel (xls)
- De methode van Newton-Raphson met de TI-83/84 Plus (8xp)
Klik HIER (pdf, 3,5 MB) voor het downloaden van de volledige tekst.
Deel 4 - Zelfstudieopdrachten
Deel 5 - Een onderzoeksopdracht in de praktijk
- Tekst iteratie (pdf, 369 KB)
- Opgaven (pdf, 51 KB)
- Zelfstudieopdrachten (pdf, 45 KB)
- Project Wiskunde (pdf, 44 KB)
Bibliografie
Jonathan Choate, Robert L. Devaney, Chaos: A Tool Kit of Dynamics Activities, Key Curriculum Press, 2000
Jonathan Choate, Robert L. Devaney, and Alice Foster, Fractals: A Tool Kit of Dynamics Activities, Key Curriculum Press, 2000
Jonathan Choate, Robert L. Devaney, and Alice Foster, Iteration: A Tool Kit of Dynamics Activities, Key Curriculum Press, 2000
Robert L. Devaney, A first course in chaotic Dynamical Systems, Addison-Wesley, 1992
Robert L. Devaney, The Mandelbrot and Julia Sets: A Tool Kit of Dynamics Activities, Key Curriculum Press, 1994
Hans Lauwerier, Fractals, Meetkundige figuren in eindeloze herhaling, 5 e druk, Aramith Uitgevers Bloemendaal, 1992
H.O. Peitgen, H. Jürgens & D. Saupe, Fractals for the classroom, part one, introduction to fractals and chaos, Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg, 1992
H.O. Peitgen, H. Jürgens & D. Saupe, Fractals for the classroom, strategic activities, part one, Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg, 1992
Alastair Wood, Introduction to Numerical Analysis, Addison-Wesley, 1999
Links
Fract-Ed
The Dynamical Systems and Technology Project
WisWeb
Software
Java Applets for Chaos and Fractals
FracInt
FracDes
This work is licensed under a Creative Commons License.